定比分点
坐标公式
有向线段的分点坐标 · 从几何到代数
高中数学核心 · 向量与解析几何的桥梁
📌 点 P 分有向线段 AB 成定比 λ
📖 什么是定比分点？
设 有向线段 AB（A→B），点 P 在直线 AB 上（可与 A、B 重合或延长线上），且满足 AP = λ · PB （有向线段数量关系），则称 点 P 分线段 AB 成定比 λ，P 称为定比分点。
当 λ > 0 时 P 在线段 AB 内部；λ < 0 时 P 在延长线上（外分）。
特别地，λ = 1 时 P 为中点。
🧮 坐标公式 (平面 & 数轴)
数轴 (一维)
\( x_P = \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda} \)
平面直角坐标系
\( x_P = \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda} \) , \( y_P = \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda} \)
⚠️ 注意 λ ≠ -1 （分母为零时无意义）
🔍 内分点 · 外分点 · 中点
✅ 内分点
λ > 0，点 P 在线段 AB 内部。AP 与 PB 同向。
e.g. λ=2 时 AP:PB=2:1
↔️ 外分点
λ < 0（且 λ ≠ -1），P 在 AB 或 BA 延长线上。
常见 λ = -½ , -2 等
⚖️ 中点 (λ=1)
\( x_P = \frac{x_A+x_B}{2} , y_P = \frac{y_A+y_B}{2} \)
最常用的特例。
✏️ 经典例题 1 (内分点)
已知 A(1,2), B(7,8)，点 P 内分 AB 且 AP:PB = 2:1，求 P 坐标。
解：
λ = AP/PB = 2。代入公式：
\( x_P = \frac{1 + 2·7}{1+2} = \frac{15}{3}=5 \)
\( y_P = \frac{2 + 2·8}{1+2} = \frac{18}{3}=6 \)
∴ P(5,6)
内分示意：P 在线段 AB 上
✏️ 经典例题 2 (外分点)
已知 A(0,0), B(6,0)，点 P 在 AB 延长线上且 AP:PB = 3:(-1) (即 λ = -3)，求 P。
解：
λ = -3，代入公式：
\( x_P = \frac{0 + (-3)·6}{1+(-3)} = \frac{-18}{-2}=9 \)
\( y_P = \frac{0 + (-3)·0}{-2}=0 \)
∴ P(9,0) 在 B 右侧。
外分：P 在 AB 延长线上
🧩 向量形式 & 记忆技巧
若已知点 A、B 及定比 λ，则 向量 OP = (OA + λ·OB)/(1+λ) (O为原点)。
💡 记忆：分子“A 坐标 + λ 倍 B 坐标”，分母“1+λ”。中点 λ=1 即平均数。
特别地，对于有向线段，λ 的正负决定内外分。
❓ 常见问题与解答
• λ > 0 → P 在线段 AB 内部（内分点）。
• λ < 0 且 λ ≠ -1 → P 在 AB 或 BA 的延长线上（外分点）。
注意：λ = 0 时 P 与 A 重合；λ 不存在（分母零）时对应中点？不，中点 λ=1。
\( \overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB}}{1+\lambda} \)。
这正是坐标公式的向量形式，适用于平面或空间。
🚀 实际应用 · 解析几何与编程
定比分点公式广泛应用于计算机图形学（贝塞尔曲线控制点插值）、物理重心计算、GIS 地图坐标分段。掌握 λ 的灵活使用能快速求解线段上的任意比例点。
💡 在编程中，常用 lerp() 线性插值：P = A + t(B-A)，其中 t = λ/(1+λ)。